Danemark, n° 1

C'est en avril 1851 que le royaume du Danemark imprime son premier timbre-poste. Il s'agit d'un timbre de 4 rigsbankskilling, destiné à l'affranchissement du courrier intérieur.

Un mois plus tard, un timbre de 2 rigsbankskilling était émis, pour le courrier local cette fois-ci, principalement celui de Copenhague. C'est ce timbre qui porte le n° 1. Il sera tiré à près de 500 000 exemplaires et sera utilisé pendant 3 ou 4 ans, jusqu'au changement monétaire de 1854.

On distingue deux impressions. La première est réalisé directement à l'aide de plaques de cuivre, par M. W. Ferslew, qui est remplacé à sa mort par H. H. Thiele, qui procède plutôt par typographie. On distingue donc ces deux impressions par le relief du motif, plus prononcé pour la première. La deuxième impression fut environ quatre fois plus importante en volume que la première.

Les amateurs de types aiment particulièrement ce timbre car il y a dix clichés différents, recopiés dix fois pour former une planche de cent timbres, et deux planches différentes. On distingue relativement facilement les deux cents positions car chacune d'entre elle a été retouchée avant l'impression. De plus, les clichés de quatre positions de la première planche ont éventuellement été remplacés car abîmés.

Voici ce qui est sans nul doute l'un des plus bel exemplaire de ce timbre :

Mis en vente par Postiljonen, vente aux enchères du 04.04.2009, lot n° 5. Mise à prix : 20 000€ Prix de vente : Invendu ex Stig Andersen, Peer Lorentzen

Le timbre est neuf, en parfaite condition, de couleur radieuse, avec de belles marges amples et avec en plus sa gomme originale immaculée ! Impossible de faire mieux.

Il s'agit d'un exemplaire de la première impression, planche n° 1, position 63, type 3. Ce type se caractérise par les trois lignes horizontales à la droite du P de POST; la première est légèrement brisée vers la droite. Pour la petite histoire, KGL est l'abbréviation de Kongelig, qui signifie « royal ».

Mise à jour du 11 avril 2009

Voici l'unique bloc oblitéré de ce timbre :

Mis en vente par David Feldman SA, vente aux enchères du 01.05.2009, lot n° 60007. Valeur estimée : 120 000 à 180 000€ Prix de vente : Invendu ex Scott

Il s'agit des positions 1, 2, 11 et 12, du deuxième tirage. Les bords de feuille gauche et supérieur n'ont pas été conservés. Le vendeur précise que ce bloc a été découvert il y a une vingtaine d'année dans un album philatélique d'une écolière.

Trois blocs neufs seraient connus, dont l'un se trouve au musée postal danois, que je n'ai malheureusement pas eu la chance de visiter durant mon séjour dans ce pays l'été dernier, même si je suis passé devant par hasard. Une autre fois peut-être !

Mises à jour : une paire neuve du premier timbre de Finlande, ainsi que la remise en vente d'un tête-bêche offert l'an dernier dans une autre maison de vente.

Une lettre dans le désert d'Atacama

Il y a des destinations qui sont suffisamment inhabituelles pour attirer notre attention :

Mis en vente par Antonio Torres International, vente aux enchères du 07.03.2009, lot n° 1406. Valeur estimée : 4000£ Prix de vente : Invendu

Postée de Salta (on lit Salta Franca sur le cachet), ville du nord de l'Argentine, la lettre est affranchie d'un timbre de 10 centavos émis en 1862 (et normalement destiné aux envois outremer) et est à destination d'Atacama.

Atacama est un désert, l'un des plus vieux et arides du monde, juché sur un haut plateau des Andes. La pluviométrie y est pratiquement nulle; on pense que dans certaines zones il n'y aurait pas plus durant plusieurs siècles ! Paradoxalement, l'astronomie y trouve son bonheur en raison de l'altitude, de l'absence de nuage et de pollution lumineuse. On y installe actuellement une batterie de quatre-vingt radio-téléscopes.

Le désert d'Atacama se trouve aujourd'hui au Chili mais il y a 150 ans, les frontières ne sont pas tout à fait les mêmes et il semble que la lettre était à destination de la Bolivie, d'où le cachet POTOSI au verso, Potosí étant une ville du sud de la Bolivie. Cette ville est également particulière; située à une altitude de plus de 4000 mètres, c'est l'une des plus hautes du monde. Pourtant, sa population sera très importante au XVIIème et XVIIIème siècle, lorsque l'exploitation de mines d'argent battait son plein.

Où exactement habitait le destinataire de la lettre ? Difficile de le dire, peut-être dans l'une des oasis du désert, comme San Pedro de Atacama. Une destination probablement rarissime pour une lettre du dix-neuvième siècle.

Bonne lecture si comme moi vous suivez les liens !

Valevole per le stampe, capovolta

En 1890, l'Italie surcharge une série de timbres pour colis postaux afin de leur donner pouvoir d'affranchissement ordinaire. Qui dit surcharge dit innombrables variétés, dont la surcharge inversée qui semble tant passionner les collectionneurs :

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères du 11.03.2009, lot n° 1229. Cote : 100 000€ Prix indicatif : 47 500$ Prix de vente : 42 500$

Le vendeur précise que d'après Sassone, il n'y aurait que deux exemplaires de cette variété. Celui-ci est « unused with full original gum, small h.r., fine ». L'autre serait neuf sans gomme. Le vendeur en conclut que « this is undoubtedly the finest existing example of this world-class rarity ».

Le vendeur précise également que l'autre exemplaire a été vendu par lui-même en mars 2008. Grâce à ses archives on retrouve donc ce deuxième exemplaire :

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères de 03.2008, lot n° 1422. Cote : 90 000€ Prix de vente : 55 000$

Et là, surprise, la description de ce timbre précise que l'autre exemplaire connu serait défectueux ! Manifestement il ne l'est pas ou ne l'est plus...

Autre curiosité, l'augmentation de plus de 10% de la cote en un an alors qu'à priori il est peu probable qu'il y ait eu d'autre exemplaire de vendu que celui-ci. Suite à une vente de 55 000$ on augment la cote de 90 000 à 100 000€ ? S'il fallait une autre preuve que la cote ne représente pas la valeur marchande d'un timbre, c'en est une bonne.

Ce qui est intéressant, c'est que le catalogue Scott de 2002 le cote à 32 500$ neuf et 16 250$ oblitéré. Oblitéré ? Il y aurait donc plus de deux exemplaires ?

Mis en vente par AP Auction Phila, vente aux enchères n° 148 du 29.09.2007, lot n° 301. Prix de vente : Inconnu

Le timbre en bas à gauche, il semble bien que ce soit celui qui nous intéresse...

Mise à jour : Un carnet de timbres d'épargne de guerre.

L'idée saugrenue de la catapulte

En 1928, la traversée de l'Atlantique par paquebot demandait une petite semaine de cinq ou six jours. C'est cette année-là que les Français auront une idée qui semble aujourd'hui plutôt saugrenue afin de gagner un peu moins d'une journée dans les délais d'acheminement du courrier.

Ça se passe sur le paquebot Île-de-France, le 13 août 1928. Le paquebot, parti du Havre, est à environ 750 km de New-York, sa destination. Un hydravion, piloté par le lieutenant Demougeot, est catapulté (par un dispositif sur rail mû par des pistons à air comprimé) au-dessus de l'océan. Cet hydravion se posera sur l'Hudson (ça ne vous rappelle pas un événement récent ?), ce qui permettra de livrer le courrier à New-York un peu plus d'une demie-journée avant l'arrivée du paquebot.

L'expérience est un succès. Elle sera réitérée au voyage de retour vers Le Havre (en pratique l'hydravion puis durant de nombreuses autres traversées en 1929 et 1930, avant d'être abandonnée car, à défaut d'amuser la galerie, l'intérêt de cette manoeuvre n'est pas évident.

L'affranchissement d'un pli destiné à voyager ainsi était surtaxé de 10 francs pour la partie aérienne. Lors des deux premiers vols inauguraux (l'un vers New-York et l'autre vers Le Havre au retour), une griffe commémorative est apposée sur les plis :

AOUT-SEPTEMBRE 1928
PREMIER LIASON POSTALE AERIENNE
TRANSATLANTIQUE
PAR HYDROAVION LANCE PAR CATAPULTE
DE " L'ILE DE FRANCE "
PILOTE LIEUTENANT DE VAISSEAU L. DEMOUGEOT,

griffe complétée par un cachet octogonal LE HAVRE A NEW YORK ou NEW YORK AU HAVRE.

Suite à l'arrivée à New-York, l'engouement du public est grand et le consul français autorise deux surcharges afin de pallier à une éventuelle pénurie de timbres de 10 francs pour le voyage retour :

Mis en vente par François Feldman, vente sur offres n° 79 du 12.03.2009, lot n° 776. Cote : 15 500€ Mise à prix : 7000€

Mis en vente par François Feldman, vente sur offres n° 79 du 12.03.2009, lot n° 778. Cote : 19 250€ Mise à prix : 9000€ Prix de vente : Invendu

Ces timbres sont rares, 2700 et 900 exemplaires ont été surchargés. Il y a deux types différents; on voit sur les deux lots ci-haut que l'espacement entre le 10 Fr. et les deux barres horizontales n'est pas le même. Dans un cas on a 6 mm, dans l'autre huit.

L'administration n'a pas vu d'un très bon oeil ces surcharges; elles ont été démonétisées immédiatement. Ces timbres n'ont donc pu servir que sur les plis ayant fait le voyage retour.

Voici deux plis offerts dans la même vente :

Mis en vente par François Feldman, vente sur offres n° 79 du 12.03.2009, lot n° 777. Mise à prix : 300€ Prix de vente : Invendu

Mis en vente par François Feldman, vente sur offres n° 79 du 12.03.2009, lot n° 779. Mise à prix : 6000€ Prix de vente : 6489€

Ces deux plis présentent tous les deux un caractère artificiel. Le premier parce qu'il est adressé au lieutenant Demougeot qui n'est autre que le pilote; une remise en main propre n'était pas suffisante ? Le second car il est à destination de New York; il s'agit donc d'un envoi purement philatélique, peut-être de J.J. Klemann à lui-même. De plus, il serait insuffisamment affranchi (le montant de 10 francs ne servant à payer que la surcharge pour la poste aérienne). Le vendeur (qui donne par erreur le 23/8/28 comme date du cachet) ne précise pas s'il y a des marques d'arrivée au verso; on peut donc émettre l'hypothèse que la lettre n'a même pas voyagée.

Mise à jour du 30 mars 2009

Voici deux plis qui semblent être correctement affranchis :

Mis en vente par Giorgino, vente aux enchères du 27.03.2009, lot n° 1265. Mise à prix : 8000 Fr Prix de vente : 10 000 Fr

Chaque lettre est affranchie au tarif de 1,50 franc, auquel on s'ajoutent 10 francs correspondant à la surtaxe aérienne. Les timbres sont oblitérés du cachet approprié ainsi que divers autres éléments comme la griffe commémorative, la signature du pilote, etc.

Ce qui est quand même un peu dommage c'est que les lettres ont fait un détour par Brest avant d'être redirigées vers Paris, du coup le gain d'une journée offert par l'hydravion catapulté devient anecdotique.

Mise à jour : Ce que font les britanniques avec les lettres immergées dans l'océan.

Quelques raretés de Ceylan

Le Ceylan, qui se nomme aujourd'hui le Sri Lanka, est une importante île se trouvant au sud-est de l'Inde. Colonie britannique au moment de l'invention du timbre poste, ses premiers timbres sont naturellement ornés de l'effigie de la reine Victoria.

Les premiers timbres sont émis de 1857 à 1859 non dentelés puis dentelés pendant une petite dizaine d'années. Les valeurs vont de un penny à deux shillings. Oblitérés, ces premiers timbres sont abordables (enfin, tout dépend du point de vue) mais neufs, plusieurs d'entre eux sont de grandes raretés.

Une collection spécialisée de Ceylan ayant récemment été dispersée, profitons-en pour présenter quelques exemplaires de ces raretés :

Mis en vente par Spink Shreves Galleries, vente aux enchères n° 109 du 18.02.2009, lot n° 54. Valeur estimée : 200 000 à 250 000$ Prix de vente : Invendu ex Baron de Worms, Sir Ernest de Silva, Lars Amundsen, Raymond H. Weill, collection Joseph Hackmey

Que demander de plus pour ce timbre en parfaite condition qui est l'un des rares exemplaires à avoir conservé une partie de sa gomme originale ?

Mis en vente par Spink Shreves Galleries, vente aux enchères n° 109 du 18.02.2009, lot n° 65. Cote : 28 000£ Valeur estimée : 40 000 à 50 000$ Prix de vente : Invendu collection Joseph Hackmey

Un autre très bel exemplaire, avec gomme originale redistribuée.

Mis en vente par Spink Shreves Galleries, vente aux enchères n° 109 du 18.02.2009, lot n° 68. Cote : 45 000£ Valeur estimée : 80 000 à 100 000$ Prix de vente : 65 000$ ex Baron de Worms, Dale-Lichtenstein, Pearson, collection Joseph Hackmey

La troisième rareté de cette série est ce timbre de 9 pence. Cet exemplaire est encore une fois excellent malgré un très léger pli dans le bas du timbre. Il possède une partie de sa gomme originale. Il s'agit d'un exceptionnel trio qui donne un aperçu du contenu de la collection de Joseph Hackney, qui regorgeait d'objets philatéliques hors du commun.

Voici deux autres exemplaires de ces timbres qui figuraient dans la collection :

Mis en vente par Spink Shreves Galleries, vente aux enchères n° 109 du 18.02.2009, lot n° 55. Valeur estimée : 30 000 à 40 000$ Prix de vente : 20 000$ ex Baron de Worms, Sir Ernest de Silva, Pearson, collection Joseph Hackmey

Mis en vente par Spink Shreves Galleries, vente aux enchères n° 109 du 18.02.2009, lot n° 66. Cote : 28 000£ Valeur estimée : 15 000 à 20 000$ Prix de vente : 9000$ collection Joseph Hackmey

Ces deux timbres ne possèdent plus de gomme et le premier est défectueux (un pli et quelques taches dans le bas), ce qui explique leur valeur moindre.

Par les hasards du calendrier, un autre exemplaire neuf du timbre de 4 pence était offert aux collectionneurs il y a un mois :

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères de 01.2009, lot n° 766. Cote : 65 000£ Prix de vente : 24 000$

Un exemplaire sans gomme (le vendeur précise que seuls un ou deux exemplaires existeraient avec gomme; un est illustré dans ce billet !) mais sans défaut.

Chez le même vendeur, en remontant un an dans le passé, on retrouve également les deux exemplaires suivants :

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères de 09.01.2008, lot n° 1878. Cote : 60 000£ Valeur estimée : 60 000$ Prix de vente : 62 500$

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères de 09.01.2008, lot n° 1879. Cote : 25 000£ Valeur estimée : 30 000$ Prix de vente : Invendu

Le timbre de 4 pence est en excellente condition et possède toute sa gomme originale (c'est le deuxième illustré dans cet article, ce qui infirme la possibilité qu'il n'y en ait qu'un seul...). Le timbre de huit pence n'en possède pas et est affligé de défauts mineurs. La valeur estimée semble donc surélevée, ce qui est confirmé par le résultat de la vente.

Bavière, n° 1, tête-bêche

Le premier novembre 1849, l'état de Bavière émet le premier timbre de la confédération germanique. Il s'agit d'un timbre de un kreuzer, noir, orné d'un imposant chiffre 1 entouré d'entrelacs. Il servait à payer le tarif local d'une lettre de moins de 16g.

Émis à 832 500 exemplaires, ce timbre, bien que recherché, n'est pas particulièrement rare. Sauf lorsqu'il se présente sous cette forme :

Mis en vente par Heinrich Köhler Auktionshaus, vente aux enchères n° 335, 336 du 24.03.2009, lot n° 2. Prix de départ : 200 000€ Prix de vente : 320 000€ ex Ferrari, Dale-Lichtenstein, collection Fritz Kirchner

Cet imposant bloc de douze timbres, dont neuf possèdent une gomme immaculée, comporte un exemplaire tête-bêche sur la deuxième rangée. Seuls deux autres tels blocs seraient connus. Ces trois blocs permettent d'affirmer que le timbre inversé est probablement la position 36 (sur une feuille de 180), si j'ai bien compris le texte allemand.

Il est également intéressant de noter qu'il s'agit d'exemplaires imprimés avec la première planche, remplacée en juillet 1850 par une deuxième en laiton plutôt qu'en cuivre, ce qui allait améliorer la netteté d'impression.

Ein faszinierendes Stück, welches zweifellos zu den größten Seltenheiten der klassischen Philatelie gehört, ce qui est peut-être un peu exagéré, mais il s'agit certainement d'une des pièces les plus onéreuses de la philatélie allemande.

Lorsque la philatélie s'intéresse aux mathématiques

Introduction

Les philatélistes qui se spécialisent dans les émissions du milieu du dix-neuvième siècle finissent un jour ou l'autre par s'intéresser aux variétés positionnelles. Ces variétés constantes permettent d'identifier la position d'un timbre dans la planche d'impression. Cette identification peut être triviale comme sur les premiers timbres émis par l'Angleterre où deux lettres dans les coins du timbre identifient de façon claire la position du timbre, de AA à TL. La plupart du temps cependant l'identification nécessite un examen attentif d'infimes détails d'impression et la comparaison de ceux-ci avec un ouvrage de référence.

Mis en vente par Spink, vente aux enchères n° 8042 du 03.12.2008, lot n° 149. Cote : 20 000£ Valeur estimée : 2500 à 3000£ Prix de vente : Invendu

La question du philatéliste

Supposons que je veuille débuter une reconstruction de planche, c'est-à-dire trouver, pour un timbre donné, un exemplaire pour chaque position de la feuille complète. Combien de timbres dois-je m'attendre à acheter ou examiner avant d'obtenir une collection complète ?

L'analyse du mathématicien

La première hypothèse à faire, c'est que la probabilité d'obtention de chaque position est équiprobable. C'est à priori le cas puisque les timbres sont imprimés en feuilles complètes. Notre hyporhèse est donc parfaitement acceptable, sauf si l'une des positions présentait un caractère exceptionnel (comme une variété nettement visible), auquel cas les philatélistes auront porté attention à cette variété et il est plausible que plus d'exemplaires de cette position que des autres auront traversé le temps. Nous maintenons néanmoins notre hypothèse.

La seconde hypothèse qui permet de simplifier considérablement l'analyse est de supposer que le tirage du timbre considéré a été très important en terme de volume. En effet, s'il ne l'avait pas été, une fois une position ajoutée à notre collection, la probabilité d'occurence de cette position diminuerait. Cas extrème, si une seule feuille a été imprimée, une fois que j'ai ajouté une position à ma collection, je n'ai plus aucune chance d'obtenir la même position. Nos calculs supposerons en fait que le tirage a été infini.

Le troisième point qu'il est important de considérer est de savoir qu'elle est exactement la question. La réponse mathématique est simple, notre ami philatéliste souhaite connaître l'espérance du processus aléatoire qu'il décrit implicitement. L'espérance est une moyenne pondérée par la probabilité de chaque événement.

Faisons une parentèse pour illustrer l'espérance mathématique. Est-il plus rentable d'assurer une Peugeot 206 valant 12 000€ contre le vol pour 75€ / an, sachant que le taux de vol est de 100 véhicules / 100 000. Si j'assure mon véhicule, je dépense avec certitude 75€ / an. Sinon, je peux « espérer » perdre 12 000€ multiplié par un millième, soit 12€ / an. Sur une très longue période, il est donc nettement plus avantageux de ne pas assurer son véhicule. Cependant, à peu près tout le monde assure son véhicule contre le vol, et je vous laisse le soin de méditer sur le sujet.

Notre ami philatéliste, connaissant l'espérance, voudra également avoir une idée plus précise de ce à quoi il doit s'attendre. Nous lui fournirons donc le nombre de timbres qu'il devra examiner pour avoir par exemple 75% ou 90% de chance de compléter sa collection.

Un exemple concret

Avant de nous lancer dans nos calculs, prenons l'exemple concret d'un philatéliste qui voudrait avoir les deux moitiés d'un Double de Genève. Les deux premiers timbres qui lui seront offerts peuvent être

1. Le gauche puis un deuxième gauche.
2. Le gauche et le droit.
3. Le droit d'abord et ensuite un gauche.
4. Le droit puis un deuxième droit.

On voit qu'il a donc une chance sur deux de réussir sa collection avec les deux premiers timbres. Dans le premier et le quatrième cas, il devra attendre un qu'un troisième exemplaire soit offert et il sera face aux possibilités suivantes :

1. Gauche, gauche, gauche.
2. Gauche, gauche, droit.
3. Droit, droit, gauche.
4. Droit, droit, droit.

Ainsi, s'il a échoué à la compléter en deux fois, il a encore une chance sur deux de la compléter en trois fois, et ainsi de suite.

En résumé, notre collectionneur a 50% de chance de réussir sa collection dès les deux premières offres qui se présentent, 75% en trois, 87,5% en quatre, etc. Son espérance est égale à


ce qui donne, en ajoutant tous les termes jusqu'à l'infini, 3, tout simplement. Le collectionneur doit donc s'attendre à examiner trois exemplaires avant d'en voir un gauche et un droit.

Cas général

La solution du cas général nécessite quelques compétences en analyse combinatoire. Le problème est équivalent à étudier les mots qui contiennent au moins une fois chacune des lettres d'un alphabet donné. Si n est le nombre de lettres de l'alphabet et k est la longueur d'un mot, alors


est le nombre de mots de longueur k qui contiennent au moins une fois chaque lettre de l'alphabet, si k est bien sûr supérieur ou égal à n. Pour avoir une idée d'où cette formule sort, il faut se rappeler des diagrammes de Venn. Le privilège du mathématicien est de pouvoir dire que le résultat est évident et que le soin de la démonstration est laissé au lecteur...

La probabilité qu'un mot de k lettres contiennent toutes les lettres de l'alphabet est donc donnée par


et la probabilité qu'un mot de k lettres contiennent toutes les lettres de l'alphabet mais que ce ne soit pas le cas pour le même mot auquel on enlève la dernière lettre est


Nous avons donc toutes les billes pour calculer ce qui nous intéresse, y compris l'espérance, qui est donnée par

Exemples de calculs

Il est maintenant temps de sortir la calculatrice :

Nombre de positions	2	4	25	100	240
Espérance, en nombre de timbres	3,00	8,33	95,40	518,74	1454,38
50% de taux de réussite	2	7	90	497	1403
75% de taux de réussite	3	10	111	584	1613
95% de taux de réussite	6	16	152	754	2025
99% de taux de réussite	8	21	192	916	2415
99,9% de taux de réussite	11	29	249	1146	2967

Ce tableau donne, pour quelques tailles de planche, l'espérance ainsi que le nombre de timbres requis pour avoir une probabilité donnée de compléter la collection. Ainsi, si je souhaite reconstruire une planche de 100 timbres, je dois m'attendre à devoir examiner 518,74 exemplaires avant d'en avoir vu un de chaque position. Il faut 754 exemplaires pour avoir 95% de chance d'en avoir vu un de chaque.

Les valeurs données ici sont arrondies, l'espérance pour n = 100 est par exemple exactement égale à


Ce logiciel est impressionnant !

La courbe de distribution de probabilité cumulative

Pour terminer, une courbe pour le cas n = 100 :

Une autre approche

Suite aux commentaires d'Emeric, je me dois de présenter une approche alternative pour calculer l'espérance. Supposons que parmi les n timbres que je souhaite obtenir, il m'en manque m. J'ai donc une probabilité m / n que le prochain timbre que j'examinerai ne fasse pas déjà partie de ma collection.

Plus généralement, la probabilité qu'il me faille examiner k nouveaux exemplaires avant d'en trouver un que je ne possède pas déjà est donnée par


Cette formule se comprend aisément; il me faut k - 1 échecs suivi d'un succès. L'espérance de ce processus, c'est-à-dire le nombre moyen de timbres que je devrai examiner avant d'en trouver un qui ne fasse pas déjà partie de ma collection est donnée par


Cette somme infinie est en fait une série géométrique et c'est probablement l'une des plus simple à résoudre, d'où la solution élégante et concise. Remarquez que lorsque m = n, c'est-à-dire lorsque je ne possède encore aucun timbre, l'espérance est égale à 1, ce qui le résultat attendu puisque le premire timbre que j'examinerai ne fera forcément pas partie de ma collection.

Compléter notre collection revient à ajouter un timbre à la fois, donc d'appliquer le processus aléatoire décrit ci-haut pour m = n, m = n - 1, m = n - 2, ... jusqu'à m = 1. L'espérance pour le processus complet est donc donnée par


ce qui, vous en conviendrez, est une formule infiniment plus simple que celle que j'ai donnée plus haut. À l'aide d'une calculatrice, on peut vérifier que les résultats sont identiques à ceux obtenus précédemment :

Nombre de positions	2	4	25	100	240
Espérance, en nombre de timbres	3,00	8,33	95,40	518,74	1454,38

Une approximation lorsque n est grand

En utilisant une propriété des nombres harmoniques découverte par Euler, on obtient l'approximation suivante lorsque n est grand :


où gamma est la constante d'Euler-Mascheroni, qui vaut 0,5772156649... et des poussières. L'approximation est-elle bonne ?

Nombre de positions	2	4	25	100	240
Espérance, en nombre de timbres	3,00	8,33	95,40	518,74	1454,38
Valeur approchée	3,04	8,35	95,40	518,74	1454,39

Même pour n = 2, l'erreur n'est que de 0,04. C'est ce qui s'appelle une convergence rapide !

L'équivalence des deux formules

Les deux formules pour l'espérance donnent le même résultat. Peut-on en faire la démonstration rigoureuse ? Sûrement, mais je n'y suis pas encore arrivé !

Pour terminer, j'ai découvert en furetant que le problème discuté dans cet article est connu sous le nom du coupon collector's problem.

Mise à jour du 22 avril 2009

Puisque cet article était illustré d'un bloc des premiers timbres anglais, faisons-nous plaisir avec ce rare bloc de six du fameux « penny black » :

Mis en vente par Cherrystone Philatelic Auctioneers, vente aux enchères du 29.04.2009, lot n° 467. Cote : 135 000£ Mise à prix : 95 000$ Prix de vente : 100 000$

Si son prix est si élevé, c'est qu'il s'agit d'exemplaires de la planche n° 11, la dernière utilisée pour ce timbre. Contrairement au un penny rouge de 1864, le numéro de planche n'est pas imprimé dans les ornementations sur les bords du timbre; il doit donc être déterminé par l'examen des infimes différences qui caractérisent cette planche. Un certificat d'authenticité est donc incontournable.